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RRR 构型关节式三自由度机械臂的运动学解算

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RRR 构型关节式三自由度机械臂的运动学解算

简介

RRR 型关节式 3DOF 机械臂一般由 3 个关节构成

  • J1J_1：绕 Z 轴旋转，控制机械臂的朝向

  • J2J_2：肩关节，控制抬升

  • J3J_3：肘关节，控制伸缩

利用柱面坐标，我们可以方便的表示末端关节的位置：

P(r,θ,h)P(r, \theta, h)

其中 rr 表示末端半径，θ\theta 表示末端旋转角度，hh 表示末端高度

为了对机械臂进行控制，我们需要完成机械臂运动学的正解与逆解

RRR

运动学正解

求解 rr

L2 L_2 在 r−θ r - \theta 平面的投影

r1=L2sin⁡θ2r_1 = L_2 \sin\theta_2

θ3\theta_3 应该是关于水平面的夹角，因此实际上还需要再加上 α+β\alpha + \beta

α+β=π2−θ2\alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \theta_2

L3 L_3 在 r−θ r - \theta 平面的投影

r2=L3sin⁡(π−θ1−θ3)r_2 = L_3 \sin(\pi - \theta_1 - \theta_3)

则

r=r1+r2=L2sin⁡θ2+L3sin⁡(π−θ1−(θ3+α+β))r = r_1 + r_2 = L_2\sin\theta_2 +L_3 \sin(\pi - \theta_1 - (\theta_3 + \alpha + \beta))

同理我们可以求解 hh

h1=L2cos⁡θ2h2=L3cos⁡(π−θ2−(θ3+α+β))h_1 = L_2 \cos\theta_2 \\ h_2 = L_3 \cos(\pi - \theta_2 - (\theta_3 + \alpha + \beta))

根据几何关系有

h=L1+h1−h2=L1+L2cos⁡θ2−L3cos⁡(π−θ2−(θ3+α+β))h = L_1 + h_1 - h_2 \\ = L_1 + L_2 \cos\theta_2 - L_3 \cos(\pi - \theta_2 - (\theta_3 + \alpha + \beta))

于是我们有

P(L2sin⁡θ2+L3sin⁡(π−θ2−(θ3+π2−θ2)),θ1,L1+L2cos⁡θ2−L3cos⁡(π−θ2−(θ3+π2−θ2)))P(L_2\sin\theta_2 +L_3 \sin(\pi - \theta_2 - (\theta_3 + \frac{\pi}{2} - \theta_2)),\quad \theta_1 ,\quad L_1 + L_2 \cos\theta_2 - L_3 \cos(\pi - \theta_2 - (\theta_3 + \frac{\pi}{2} - \theta_2)))

这就是最终的运动学正解

运动学逆解

固定θ1\theta_1，在 r−hr-h 平面内作辅助线 L′L^{\prime} 连接 J2J_2 和 PP

首先解出 θ3\theta_3

根据勾股定理

(L′)2=r2+(h−L1)2\left(L^{\prime}\right)^2 = r^2 + (h - L_1)^2

根据余弦定理

cos(π−θ3)=(L2)2+(L3)2−(L′)22L2L3cos(\pi - \theta_3) = \frac{\left(L_2\right)^2 + \left(L_3\right)^2 - \left(L^{\prime}\right)^2}{2 L_2 L_3}

根据诱导公式

cos(π−θ3)=−cos(θ3)cos(\pi - \theta_3) = -cos(\theta_3)

则

θ3=arccos⁡((L′)2−(L2)2−(L3)22L2L3)\theta_3 = \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 - \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L_3}\right)

同样的我们可以解出 θ2\theta_2

rr 和 L′L^{\prime} 的夹角

α=arctan⁡2(h−L1,r)\alpha = \arctan2(h - L_1, \quad r)

L′L^{\prime} 和 L1L_1 的夹角，根据余弦定理

β=arccos⁡((L′)2+(L2)2−(L3)22L2L′)\beta = \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 + \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L^{\prime}}\right)

则

θ2=π2−(α+β)=π2−(arctan⁡2(h−L1,r)+arccos⁡((L′)2+(L2)2−(L3)22L2L′))\theta_2 = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) \\ = \frac{\pi}{2} - \left(\arctan2(h - L_1, \quad r) + \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 + \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L^{\prime}}\right)\right)

fix: 实际上小臂使用连杆驱动，小臂关于水平面的夹角在大臂运动时不变，因此 θ3\theta_3 应该是关于水平面的夹角，还需要再减去 α+β\alpha + \beta：

θ3=arccos⁡((L′)2−(L2)2−(L3)22L2L3)−(α+β)=arccos⁡((L′)2−(L2)2−(L3)22L2L3)−(arctan⁡2(h−L1,r)+arccos⁡((L′)2+(L2)2−(L3)22L2L′))\theta_3 = \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 - \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L_3}\right) - \left(\alpha + \beta\right) \\ = \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 - \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L_3}\right) -\left(\arctan2(h - L_1, \quad r) +\arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 + \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L^{\prime}}\right)\right)

柱面坐标下

θ1=θ\theta_1 = \theta

使用矩阵表示为：

[θ1θ2θ3]=[θπ2−(arctan⁡2(h−L1,r)+arccos⁡((L′)2−(L2)2−(L3)22L2L3))arccos⁡((L′)2−(L2)2−(L3)22L2L3)−(arctan⁡2(h−L1,r)+arccos⁡((L′)2+(L2)2−(L3)22L2L′))]\begin{bmatrix} \theta_1 \\ \theta_2 \\ \theta_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \theta \\ \frac{\pi}{2} - \left(\arctan2(h - L_1, \quad r) + \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 - \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L_3}\right)\right) \\ \arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 - \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L_3}\right) -\left(\arctan2(h - L_1, \quad r) +\arccos \left(\frac{\left(L^{\prime}\right)^2 + \left(L_2\right)^2 - \left(L_3\right)^2}{2 L_2 L^{\prime}}\right)\right) \\ \end{bmatrix}

这就是最终的运动学逆解

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